Question

已知函數(shù)f（x）=x（x+a）-lnx，其中a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）是區(qū)（

1

2

，1）內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）過坐標(biāo)原點(diǎn)可以作幾條直線與曲線y=f（x）相切？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）f（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，即其導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0或f′（x）≤0在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)恒成立；
（3）設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，由條件知切線過原點(diǎn)，代入得關(guān)于t的一個(gè)方程，只需研究此方程有幾個(gè)解即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x（x-1）-lnx，則f′(x)=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

(x＞0)，
∴（2x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-

1

2

，
當(dāng)（2x+1）（x-1）＜0時(shí)，得-

1

2

＜x＜1，又定義域?yàn)閤∈（0，+∞），
∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．于是f（x）有極小值f（1）=0，無極大值．
（2）易知f′(x)=2x+a-

1

x

，f（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)單調(diào)遞增，所以
由題意可得f′(x)=2x+a-

1

x

=0在(

1

2

，1)內(nèi)無解，即f′(

1

2

)≥0或f'（1）≤0，解得
實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）．
（3）設(shè)切點(diǎn)（t，t²+at-lnt），k=2t+a-

1

t

，∴切線方程為y=(2t+a-

1

t

)(x-t)+t2+at-lnt．
∵切線過原點(diǎn)（0，0），∴0=(2t+a-

1

t

)(-t)+t2+at-lnt，化簡得t²-1+lnt=0（※）．
設(shè)h（t）=t²-1+lnt（t＞0），則h′(t)=2t+

1

t

＞0，所以h（t）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
又h（1）=0，故方程（※）有唯一實(shí)根t=1，從而滿足條件的切線只有一條．

點(diǎn)評(píng)：這是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，研究函數(shù)的單調(diào)性，討論切線的條數(shù)的問題，這些都是�？贾�識(shí)點(diǎn)，應(yīng)該撐握，屬于中檔題．