Question

已知函數(shù)f（x）=x³+

5

2

x²+ax+b，g（x）=x³+

7

2

x²+1nx+b（a，b為常數(shù)）．
（1）若g（x）在x=l處的切線方程為y=kx-5（k為常數(shù)），求b的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若存在唯一的實數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）令F（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)F（x）存在極值，且所有極值之和大于5+1n2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立條件關(guān)系即可求出b的值．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0，即可得到結(jié)論．
（3）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵g′(x)=3x2+7x+

1

x

，g′(1)=11
所以直線y=kx-5的k=11，
當(dāng)x=1時，y=6，將（1，6）代入g(x)=x3+

7

2

x2+lnx+b，得b=

3

2

．   …（4分）
（2）f′(x0)=3x2+5x+a，
由題意知

3x02+5x0+a=0 x03+ 5 2 x02+ax0+b=x0

消去a，
得2x03+

5

2

x02+x0-b=0有唯一解．
令h(x)=2x3+

5

2

x2+x，則h'（x）=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1），…（6分）
所以h（x）在區(qū)間(-∞，-

1

2

)，(-

1

3

，+∞)上是增函數(shù)，在(-

1

2

，-

1

3

)上是減函數(shù)，
又h(-

1

2

)=-

1

8

，h(-

1

3

)=-

7

54

，
故實數(shù)b的取值范圍是(-∞，-

7

54

)∪(-

1

8

，+∞)． …（9分）
（3）∵F（x）=ax-x²-lnx，∴F′(x)=-

2x2-ax+1

x

因為F（x）存在極值，所以F′(x)=-

2x2-ax+1

x

=0
在（0，+∞）上有根即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根．    …（10分）
記方程2x²-ax+1=0的兩根為x₁，x₂由韋達(dá)定理

x1x2= 1 2 ＞0 x2+x1= a 2

，
所以方程的根必為兩不等正根．     …（12分）
F(x1)+F(x2)=a(x1+x2)-(x12+x22)-(lnx1+lnx2)=

a2

2

-

a2

4

+1-ln

1

2

＞5-ln

1

2

所以a²＞16滿足方程2x²-ax+1=0判別式大于零
故所求取值范圍為（4，+∞）…（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的運算是解決本題的關(guān)鍵．