已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，它的一個頂點為A（0，2），離心率e=
6
3
．
（1）求橢圓的方程；（2）直線l：y=kx-2（k∈R且k≠0），與橢圓相交于不同的兩點M、N，點P為線段MN的中點且有AP⊥MN，求實數(shù)k的值．
分析：（1）直接利用題中條件列出方程組
b=2
c
a
=
6
3
a2=b2+c2
，解方程組即可求橢圓的方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得關(guān)于點M、N坐標(biāo)的等式，再利用中點坐標(biāo)公式求出點P的坐標(biāo)，代入由AP⊥MN得到的KAP=-
1
k
 即可 求實數(shù)k的值．
解答：解：（1）由它的一個頂點為A（0，2），離心率e=
6
3
．得
b=2
c
a
=
6
3
a2=b2+c2
，
解得
a2=12
b2=4
c2=8
，
故橢圓的方程
x2
12
+
y2
4
=1．
（2）聯(lián)立
x2
12
+
y2
4
=1
y=kx-2
?（1+3k2）x2-12kx=0．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y）
則x1+x2=
12k
1+3k2
，
所以y1+y2=k（x1+x2）-4=-
4
1+3k2
．
故x=
6k
1+3k2
，y=-
2
1+3k2
             
有AP⊥MN?KAP=-
1
k
?
-
2
1+3k2
-2
6k
1+3k2
=-
1
k
?
2+2(1+3k2)
6k
=
1
k
?k2=
1
3
?k=±
3
3
．
故實數(shù)k的值為 ±
3
3
．
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點和重點．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知離心率為
6
3
的橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P(
3
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F1且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點，若
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
（O為坐標(biāo)原點），求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知方向向量為
V
=(1，
3
)的直線l過橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點以及點（0，-2
3
），直線l與橢圓C交于A、B兩點，且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為4
6
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F1且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點，
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
≠0（O坐標(biāo)原點），求直線m的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a
+
y2
b
=1(a＞b＞0)過點(1，
3
2
)，且離心率為
1
2
，A、B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的兩點，若
AF
=λ
FB
(λ∈R)，且|
AF
|≠|(zhì)
FB
|，其中F為橢圓的左焦點．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求A、B兩點的對稱直線在y軸上的截距的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a
+
y2
b
=1(a＞b＞0)過點(1，
3
2
)，且離心率為
1
2
，A、B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的兩點，若
AF
=λ
FB
(λ∈R)，且|
AF
|≠|(zhì)
FB
|，其中F為橢圓的左焦點．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求A、B兩點的對稱直線在y軸上的截距的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知離心率為
6
3
的橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P(
3
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F1且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點，若
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
（O為坐標(biāo)原點），求直線l的方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案