【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)若, 是橢圓上兩個不同的動點,且使的角平分線垂直于軸,試判斷直線的斜率是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(I)由離心率可得關(guān)系,再將點坐標代入,可得間關(guān)系,又,解方程可得的值;(II)由的角平分線總垂直于軸,可判斷直線的斜率互為相反數(shù),由兩直線都過點,由點斜式可寫出直線方程.一一與橢圓方程聯(lián)立,消去的值,可得一元二次方程,又點滿足條件,可求得點的坐標,用表示.再由斜率公式可得直線的斜率為定值.
試題解析:
(Ⅰ) 因為橢圓的離心率為, 且過點,
所以, .
因為,
解得, ,
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)法1:因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關(guān)于直線對
稱. 設(shè)直線的斜率為, 則直線的斜率為.
所以直線的方程為,直線的方程為.
設(shè)點, ,
由消去,得. ①
因為點在橢圓上, 所以是方程①的一個根, 則,
所以.
同理.
所以.
又.
所以直線的斜率為.
所以直線的斜率為定值,該值為.
法2:設(shè)點,
則直線的斜率, 直線的斜率.
因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關(guān)于直線對稱.
所以, 即, ①
因為點在橢圓上,
所以,②
. ③
由②得, 得, ④
同理由③得, ⑤
由①④⑤得,
化簡得, ⑥
由①得, ⑦
⑥⑦得.
②,得.
所以直線的斜率為為定值.
法3:設(shè)直線的方程為,點,
則,
直線的斜率, 直線的斜率.
因為的角平分線總垂直于軸, 所以與所在直線關(guān)于直線對稱.
所以, 即,
化簡得.
把代入上式, 并化簡得
. (*)
由消去得, (**)
則,
代入(*)得,
整理得,
所以或.
若, 可得方程(**)的一個根為,不合題意.
若時, 合題意.
所以直線的斜率為定值,該值為.
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【題目】已知函數(shù)的定義域為集合A,B={x|x<a}.
(1)求集合A;
(2)若AB,求a的取值范圍;
(3)若全集U={x|x≤4},a=-1,求U A及A∩(U B).
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【題目】已知橢圓C:經(jīng)過點,離心率,直線的方程為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)經(jīng)過橢圓右焦點的任一直線(不經(jīng)過點)與橢圓交于兩點,,設(shè)直線與相交于點,記的斜率分別為,問:是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請說明理由.
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【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n.
(1)求角B的大。
(2)若b=,求a+c的取值范圍.
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【題目】設(shè)A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范圍;
(2)若A∪B=B,求a的值.
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【題目】選修4-4;坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸的極坐標中,曲線.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程.
(Ⅱ)求曲線上的點到直線的距離的最大值.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測出其中一項質(zhì)量指標存在問題.該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲,乙兩條流水線的生產(chǎn)情況,隨機地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本,測出它們的這一項質(zhì)量指標值.若該項質(zhì)量指標值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品.表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)根據(jù)圖1,估計乙流水線生產(chǎn)產(chǎn)品該質(zhì)量指標值的中位數(shù);
(Ⅱ)若將頻率視為概率,某個月內(nèi)甲,乙兩條流水線均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品,則甲,乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件?
(Ⅲ)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并回答是否有85%的把握認為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與甲,乙兩條流水線的選擇有關(guān)”?
甲生產(chǎn)線 | 乙生產(chǎn)線 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
附:(其中為樣本容量)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】如圖,已知四棱錐的底面為矩形,D為的中點,AC⊥平面BCC1B1.
(Ⅰ)證明:AB//平面CDB1;
(Ⅱ)若AC=BC=1,BB1=,
(1)求BD的長;
(2)求B1D與平面ABB1所成角的正弦值.
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【題目】已知如圖,六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF.則下列結(jié)論不正確的是( )
A. CD∥平面PAF
B. DF⊥平面PAF
C. CF∥平面PAB
D. CF⊥平面PAD
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