Question

（1）對(duì)于定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足xf′（x）+2f（x）＜0，求證：函數(shù)y=x²f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）請(qǐng)你認(rèn)真研讀（1）中命題并聯(lián)系以下命題：若f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足xf′（x）+f（x）＜0，則y=xf（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)．然后填空建立一個(gè)普遍化的命題：設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，n∈N₊，若

x

×f′（x）+n×f（x）＜0，則

y=xⁿf（x）

是（0，+∞）上的減函數(shù)．
注：命題的普遍化就是從考慮一個(gè)對(duì)象過渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合；或者從考慮一個(gè)較小的集合過渡到考慮包含該較小集合的更大集合．
（3）證明（2）中建立的普遍化命題．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，用x乘以xf′（x）+2f（x）＜0，得[x²f（x）]′＜0，即得證；
（2）考查類比推理，若x×f′（x）+n×f（x）＜0，則y=xⁿf（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)來證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：（1）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，用x乘以xf′（x）+2f（x）＜0，得[x²f（x）]′＜0，
所以，函數(shù)y=x²f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；…（4分）
（2）類比（1）可知，設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，n∈N₊，
若x×f′（x）+n×f（x）＜0，則y=xⁿf（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；…．（4分）
（3）證明：由于f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，n∈N₊，
則x^n-1＞0，
若x×f′（x）+n×f（x）＜0，則x^n-1[x×f′（x）+n×f（x）]=[xⁿf（x）]′＜0，
所以y=xⁿf（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)．…（4分）

點(diǎn)評(píng)：主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．