(2012•長寧區(qū)二模)對于定義在R上的函數(shù)f(x),有下述命題:
①若f(x)是奇函數(shù),則f(x-1)的圖象關(guān)于點A(1,0)對稱;
②若函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則f(x)為偶函數(shù);
③若對x∈R,有f(x-1)=-f(x),則2是f(x)的一個周期;
④函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
其中正確的命題是
①②③④
①②③④
.(寫出所有正確命題的序號)
分析:本題考查的知識點是,判斷命題真假,著重考查了函數(shù)的對稱性與周期性,及圖象平移的一些知識.
(1)(2):f(x-1)的圖象可以由f(x)的圖象向右平移1個單位得到;
(3):周期函數(shù)是對一切X都有f(x+T)=f(x);
(4):f(1-x)=f(-(x-1))且f(x-1)的圖象可以由f(x)的圖象向右平移1個單位得到.
解答:解:①若f(x)是奇函數(shù),則其對稱中心是(0,0)
由于f(x-1)的圖象可以由f(x)的圖象向右平移1個單位得到,
則f(x-1)關(guān)于(1,0)對稱.故①是正確的.
②由于f(x)的圖象可以由f(x-1)的圖象向左平移1個單位得到,
又由于函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱,
即f(x)為偶函數(shù).故②也正確.
③由于若對x∈R,有f(x-1)=-f(x),則f(x-2)=-f(x-1)=-(-f(x))=f(x),
所以2是f(x)的一個周期.故③也正確.
④由于f(x)=f(-x)時f(x)為偶函數(shù),其對稱軸是y軸即x=0,
而f(1-x)=f(-(x-1))且f(x-1)的圖象可以由f(x)的圖象向右平移1個單位得到,
所以f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.故④也正確.
故正確的是①②③④.
點評:本題考查的知識點是,判斷命題真假,比較綜合的考查了函數(shù)的對稱性與周期性,我們可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)對四個結(jié)論逐一進行判斷,可以得到正確的結(jié)論.
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