Question

已知函數(shù)f（x）=sin²2x+

3

sin2x•cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[

π

8

，

π

4

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡函數(shù)f（x）的解析式，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)x的取值范圍，求出4x-

π

6

的取值范圍，從而可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²2x+

3

sin2x•cos2x=

1-cos4x

2

+

3

2

sin4x=sin（4x-

π

6

）+

1

2

，
∴T=

2π

4

=

π

2

，
即函數(shù)f（x）的最小正周期為

π

2

；
（2）∵x∈[

π

8

，

π

4

]，
∴4x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（4x-

π

6

）∈[

1

2

，1]，
∴sin（4x-

π

6

）+

1

2

∈[1，

3

2

]，
∴f（x）的值域為[1，

3

2

]．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．