已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.

（I）求動(dòng)圓圓心C的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且+=時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（I）如圖，

設(shè)M為動(dòng)圓圓心，(,0)為記為F，過點(diǎn)M作直線x=-的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|

即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線x=-的距離相等。由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F(,0)為焦點(diǎn)，x=-為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為。

（II）如圖，設(shè)A(),B()，由題意得。

又直線OA,OB的傾斜角, 滿足+=，故0<<

∴直線AB的斜率存在，否則，OA,OB直線的傾斜角之和為。

從而設(shè)直線AB的方程為，

顯然，將與聯(lián)立，消去，

得

由韋達(dá)定理知（*）

由，得

將（*）式代入上式整理化簡(jiǎn)，得。

此時(shí)，直線AB的方程可表示為：，

即。所以直線AB恒過定點(diǎn)（-，）。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（05年山東卷理）(14分)

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.

（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切.

(1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分13分）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切.

(1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切．

(1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)，并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足

？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省高三第二次階段性考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分） 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，橢圓 的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)是，點(diǎn)在橢圓上．

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程；

（Ⅱ）若動(dòng)直線與軌跡在處的切線平行，且直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問：是否存在著這樣的直線使得的面積等于？如果存在，請(qǐng)求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

 

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