Question

（本小題滿(mǎn)分15分） 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，橢圓 的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)是，點(diǎn)在橢圓上．

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程；

（Ⅱ）若動(dòng)直線與軌跡在處的切線平行，且直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在著這樣的直線使得的面積等于？如果存在，請(qǐng)求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）軌跡的方程，橢圓的方程為．（Ⅱ）的面積等于的直線不存在．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)過(guò)圓心作直線直線的垂線，垂足為，由題意得，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等．由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為． ------3分

設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)代入方程得，

整理得，解得或（舍去）．

故所求橢圓的方程為．------------------------6分

（Ⅱ）軌跡的方程為即，則，---------------7分

所以軌跡在處的切線的斜率為，故直線的斜率為， 假設(shè)符合題意的直線方程為． --------8分

代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，設(shè)，，，，，-----------------9分

故，------------------------10分

又點(diǎn)到直線的距離是， --------------------11分

故-------------------13分

當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)（滿(mǎn)足）．--------------14分

此時(shí)的面積等于，

所以的面積等于的直線不存在．--------------15分

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；軌跡方程的求法；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一已知曲線的定義條件。