Question

（文）已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F．⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點(diǎn)O作傾斜角為的直線，交l于點(diǎn)A，交⊙M于另一點(diǎn)B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過圓心M的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，問是否為定值，若是定值，求出該定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為=OA•cos60°=2×=1，即p=2，所以拋物線C的方程為y²=4x
設(shè)⊙M的半徑為r，則r=×=2，所以⊙M的方程為（x-2）²+y²=4
（Ⅱ）M（2，0），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
（1）當(dāng)PQ斜率不存在時，P（2，2），Q（2，-2），則=x₁x₂+y₁y₂=-4
（2）當(dāng)PQ斜率存在時，設(shè)PQ的方程為y=k（x-2）（k≠0），消y得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0
所以x₁+x₂=，x₁x₂=4，
因為y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，所以y₁²y₂²=16x₁x₂=64，故y₁y₂=-8
所以=x₁x₂+y₁y₂=-4
所以為定值，該值為-4．
分析：（Ⅰ）根據(jù)=OA•cos60°，可求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查拋物線與圓的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．