Question

已知函數(shù)f（x）=的圖象過點（﹣1，2），且在點（﹣1，f（
﹣1））處的切線與直線x﹣5y+1=0垂直．
（1）求實數(shù)b，c的值；
（2）求f（x）在[﹣1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（3）對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？

Answer 1

解：（1）由題意可得，當(dāng)x＜1時，f′（x）=﹣3x²+2x+b，f′（﹣1）=﹣3﹣2+b=b﹣5．
由（ b﹣5 ）（ ）=﹣1，可得b=0，
故 f（x）=﹣x³+x²+c．把點（﹣1，2）代入求得 c=0．
綜上可得b=0，c=0．
（2）由以上可得  ，當(dāng)﹣1≤x＜1時，f′（x）=﹣x（3x﹣2）．
 解f′（x）＞0得0＜x＜ ．解f′（x）＜0得1≥x＞ 或x＜0．
∴f（x）在（﹣1，0）和（ ，1）上單調(diào)遞減，在（0， ）上單調(diào)遞增，
從而f（x）在x= 處取得極大值為f（ ）= ．
又∵f（﹣1）=2，f（1）=0，
∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值為2．
當(dāng)1≤x≤e時，f（x）=alnx，
當(dāng)a≤0時，f（x）≤0．
當(dāng)a＞0時，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值為a．
∴a≥2時，f（x）在[﹣1，e]上的最大值為a；
當(dāng)a＜2時，f（x）在[﹣1，e]上的最大值為2．
（3）設(shè)點P的橫坐標為m（不妨設(shè)m＞0），
則由題意可得點Q的橫坐標為﹣m，且﹣m＜0．
當(dāng)0＜m＜1時，點P（m，﹣m³+m²），點 Q（﹣m，m³+m²），
由K_0P·K_OQ=﹣1，可得（﹣m²+m）（﹣m²﹣m）=﹣1，m無解．
當(dāng)m≥1時，點P（m，alnm），點 Q（﹣m，m³+m²），
由K_0P·K_OQ=﹣1，可得  ·（﹣m²﹣m）=﹣1，即 alnm= ．
由于a為正實數(shù)，故存在大于1的實數(shù)m，滿足方程 alnm= ．
故曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，
且此三角形斜邊中點在y軸上．