Question

已知函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α，求證：

cosα

sinα+sin3α

=

1+α2

4α

．

Answer 1

分析：作出函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象，利用函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，確定切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的關(guān)系式證明等式．

解答：解：作出函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）的圖象，如圖所示，要使兩個(gè)函數(shù)有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，
則由圖象可知，直線在（π，

3π

2

）內(nèi)與f（x）相切．設(shè)切點(diǎn)為A（α，-sinα），
當(dāng)x∈（π，

3π

2

）時(shí)，f（x）=|sinx|=-sinx，
此時(shí)f'（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

）．
所以-cosα=-

sinα

α

，即α=tanα，
所以

cosα

sinα+sin3α

=

cosα

2sin2αcosα

=

cosα

4sinαcosα

=

cos2α+sin2α

4sinαcosα

=

1+tan2α

4tanα

=

1+α2

4α

．
所以等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩函數(shù)的交點(diǎn)的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．