Question

（2009•聊城一模）過點P（1，0）作曲線C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切線，切點為M₁，設M₁在x軸上的投影是點P₁；又過點P₁作曲線C的切線，切點為M₂，設M₂在x軸上的投影是點P₂；…；依此下去，得到一系列點M₁，M₂，…M_n，…；設它們的橫坐標a₁，a₂，…，
a_n…構成數(shù)列為{a_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：an≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）當k=2時，令bn=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對y=x^k求導數(shù)，得y′=kx^k-1，切點是M_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．當n=1時，a1=

k

k-1

；當n＞1時，得

an

an-1

=

k

k-1

．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（ II）應用二項式定理，得an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=

C

0 n

+

C

1 n

1

k-1

+

C

2 n

(

1

k-1

)2+…+

C

n n

(

1

k-1

)n≥1+

n

k-1

．
（ III）當k=2時，a_n=2ⁿ，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用錯位相減法能夠得到S_n=2-

n+2

2n

．

解答：解：（Ⅰ）對y=x^k求導數(shù)，
得y′=kx^k-1，
點是M_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．…（2分）
當n=1時，切線過點P（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得a1=

k

k-1

；
當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得

an

an-1

=

k

k-1

．
所以數(shù)列{a_n}是首項a1=

k

k-1

，公比為

k

k-1

的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為an=(

k

k-1

)n，n∈N*．…（4分）
（ II）應用二項式定理，得an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=

C

0 n

+

C

1 n

1

k-1

+

C

2 n

(

1

k-1

)2+…+

C

n n

(

1

k-1

)n≥1+

n

k-1

．…（8分）
（ III）當k=2時，a_n=2ⁿ，
數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
同乘以

1

2

，得

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
兩式相減，…（10分）
得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
所以S_n=2-

n+2

2n

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，證明an≥1+

n

k-1

，求數(shù)列的前n項和．對數(shù)學思維的要求比較高，要認真審題，注意錯位相減法的靈活運用，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．