Question

已知函數(shù)f（x）=ln（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域I；
（2）判斷函數(shù)f（x）在定義域I上的單調(diào)性，并說明理由；
（3）當a，b滿足什么關系時，f（x）在[1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

分析：（1）由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零求解．
（2）當函數(shù)在定義域上單調(diào)時，則不存在，當函數(shù)在定義域上不單調(diào)時，則存在，所以要證明函數(shù)是否單調(diào)，可用定義法，也可用導數(shù)法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”則需函數(shù)的最小值非負即可，由（2）可知是增函數(shù)，所以只要f（1）≥0即可．

解答：解：（1）f（x）=ln（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）要意義，a^x-b^x＞0（2分）
（只要學生得出答案，沒有過程的，倒扣一分，用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性或者直接解出）ax-bx＞0?(

a

b

)x＞1(a＞1＞b＞0?

a

b

＞1)
∴所求定義域為（0，+∞）（4分）
（2）函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)（5分）
證明：?x₁，x₂，0＜x₁＜x₂（6分）
∵a＞1＞b＞0∴ax1＜ax2，bx1＞bx2（7分）

∴ax1-bx1＜ax2-bx2 ∴l(xiāng)n(ax1-bx1)＜ln(ax2-bx2) ∴f(x1)＜f(x2)

（9分）
所以原函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)（10分）
（3）要使f（x）在[1，+∞）上恒取正值
須f（x）在[1，+∞）上的最小值大于0-（11分）
由（2）y_max=f（1）=ln（a-b）（12分）
∵ln（a-b）＞0∴a-b＞1
所以f（x）在[1，+∞）上恒取正值時有a-b＞1．（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)的定義域，單調(diào)性及最值，這是�？汲Ｐ碌念愋�，在轉化問題和靈活運用知識，方法要求較高．