已知向量
m
=(asinx,cos2x)
,
n
=(cosx,b)
,f(x)=
m
n
+c
,其中a,b,c為實數(shù),滿足f(x)的圖象關于P(
π
3
,0)
對稱,且在P處的切線斜率為-4,
(1)求f(x)的解析式;
(2)在非鈍角△ABC中,f(C)=-
3
,且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.
分析:(1)由f(
π
3
)=
3
2
a-
b
2
=0
 和 f′(
π
3
)=-
a
2
-
3
2
b=-4
解出a、b的值,即得f(x)的解析式.
(2)在非鈍角△ABC中,由f(C)=-
3
,求出角C 的大小,再由 2sin2B=cosB+cos(A-C),可解得sinA的值.
解答:解:(1)f(x)=asinxcosx+bcos2x+c=
a
2
sin2x+
b
2
(1+cos2x)+c
,∵f(x)的圖象關于P(
π
3
,0)
對稱,
f(
π
3
)=
3
2
a-
b
2
=0
,即b=
3
a
,∴f'(x)=acos2x-bsin2x.
f′(
π
3
)=-
a
2
-
3
2
b=-4
,a+
3
b=8
,∴a=2,b=2
3
,
f(x)=sin2x+
3
cos2x=2sin(2x+
π
2
)

(2)f(C)=2sin(2C+
π
3
)=-
3
,則2C+
π
3
=
3
2C+
π
3
=
3
,得C=
π
2
C=
3
(舍去),
所以原式即為:2cos2A=sinA+sinA,得sin2A+sinA-1=0,所以sinA=
5
-1
2
點評:本題考查兩個向量的數(shù)量積公式,同角三角函數(shù)的基本關系,求出f(x)的解析式是解題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
m
=(cosx,1-asinx),
n
=(cosx,2),設f(x)=
m
n
,且函數(shù)f(x)的最大值為g(a).
(Ⅰ)求函數(shù)g(a)的解析式.
(Ⅱ)設0≤θ≤2π,求函數(shù)(2cosθ+1)的最大值和最小值以及對應的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
m
=(sinx,1)
,
n
=(
3
Acosx,
A
2
cos2x)
(A>0),函數(shù)f(x)=
m
n
的最大值為1.
(1)求A的值;
(2)設α,β∈[0,
π
2
]
f(
α
2
+
π
6
)=
3
5
,f(
β
2
+
12
)=-
5
13
,求cos(α+β)的值;
(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移
π
12
個單位,再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
1
2
倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在[0,
24
]
上的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
m
=(cosx,-1),向量
n
=(
3
sinx,-
1
2
),函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;
(Ⅱ)已知a,b,c分別為△ABC內角A,B,C的對邊,A為銳角,a=1,c=
3
,且f(A)恰是f(x)在[0,
π
2
]上的最大值,求A,b和△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知向量
m
=(cosx,1-asinx),
n
=(cosx,2),設f(x)=
m
n
,且函數(shù)f(x)的最大值為g(a).
(Ⅰ)求函數(shù)g(a)的解析式.
(Ⅱ)設0≤θ≤2π,求函數(shù)(2cosθ+1)的最大值和最小值以及對應的值.

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