Question

已知向量

m

=(cosx，-1)，向量

n

=(

3

sinx，-

1

2

)，函數(shù)f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A為銳角，a=1，c=

3

，且f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A，b和△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，并且結(jié)合三角函數(shù)的降次公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，得f（x）=sin（2x+

π

6

）+2，再結(jié)合三角函數(shù)的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期T；
（II）根據(jù)（I）的表達(dá)式并且A為銳角，得當(dāng)A=

π

6

時(shí)，f（x）有最大值3，結(jié)合余弦定理和題中數(shù)據(jù)列式，解出b=1或b=2，最后利用正弦定理可得△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

+

n

=（cosx+

3

sinx，-

3

2

）
∴（

m

+

n

）•

m

=cosx（cosx+

3

sinx）+

3

2

=

1

2

（1+cos2x）+

3

2

sin2x+

3

2

…（2分）
∴f（x）=

1

2

（1+cos2x）+

3

2

sin2x+

3

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+2=sin（2x+

π

6

）+2…（5分）．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）=sin（2A+

π

6

）+2
∵A為銳角，

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

∴當(dāng)2A+

π

6

=

π

2

時(shí)，即A=

π

6

時(shí)，f（x）有最大值3，…（8分）
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
∴1=b2+3-2×

3

×b×cos

π

6

，∴b=1或b=2，…（10分）
∵△ABC的面積S=

1

2

bcsinA
∴當(dāng)b=1時(shí)，S=

1

2

×1×

3

×sin

π

6

=

3

4

；當(dāng)當(dāng)b=2時(shí)，S=

1

2

×2×

3

×sin

π

6

=

3

2

．…（12分）
綜上所述，得A=

π

6

，b=1，S_△ABC=

3

4

或A=

π

6

，b=2，S_△ABC=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道三角函數(shù)綜合題，著重考查了運(yùn)用正余弦定理解三角形、三角函數(shù)的周期性及其求法、三角恒等變形和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．