Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓C的短軸為直徑的圓的方程為x²+y²=1．
（I）求橢圓C的方程；
（II）圓x²+y²=1的切線(xiàn)l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的離心率即橢圓的短軸長(zhǎng)，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（II）分類(lèi)討論，設(shè)出直線(xiàn)方程，求出|AB|的最大值，即可求得△AOB面積的最大值．
解答：解：（I）∵橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓C的短軸為直徑的圓的方程為x²+y²=1，
∴，b=1
∴a²=b²+c²
∴c=1，a=，
∴橢圓C的方程為；
（II）斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+b是圓的一條切線(xiàn)，則，∴|b|=
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線(xiàn)l方程代入橢圓方程，整理可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|AB|==
令t=4k⁴+4k²+1，則t＞0，|AB|==＜
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線(xiàn)方程為x=1，則y=±
∴|AB|=
∴|AB|_max=
∵
∴△AOB面積的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．