【題目】如圖,在三棱柱中,,側(cè)面是邊長為2的正方形,點、分別是線段,的中點,且.
(1)證明:平面平面;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取中點,連接,由正方形性質(zhì)及條件,可證明平面,從而可得,進而證明平面,即可由面面垂直的判定定理證明平面平面;
(2)結(jié)合(1)及線面垂直關(guān)系,可得.以為坐標原點,分別為軸正方向建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并求得平面的法向量,即可由線面夾角的向量求法求得直線與平面所成角的正弦值.
(1)證明:取中點,連接,如下圖所示:
三棱柱中,, 為中點,
則,
是為正方形,點、分別是線段,的中點,為中點,
所以,
又因為,且,
所以平面,
又因為平面,
所以,
且,與相交,則平面,
又因為平面,
所以平面平面.
(2)因為,平面平面,平面平面.
所以平面,
則.
又因為,,
所以平面,則.
所以.
又平面,,
所以平面,
從而.
以為坐標原點,分別為軸正方向,建立如下圖所示的空間直角坐標系:
則,.
所以.
設(shè)平面的法向量為.
則,即,令,解得,
則,
設(shè)直線與平面所成的角為,
由直線與平面夾角的求法可得.
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【題目】如圖,四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=3,AD=4,AE=5,.
(1)證明:DF∥平面BCE.
(2)求A到平面BEDF的距離,并求四棱錐A﹣BEDF的體積.
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【題目】如圖,已知F是拋物線C:的焦點,過E(﹣l,0)的直線與拋物線分別交于A,B兩點(點A,B在x軸的上方).
(1)設(shè)直線AF,BF的斜率分別為,,證明:;
(2)若ABF的面積為4,求直線的方程.
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【題目】已知橢圓C:()的一個焦點與拋物線的焦點相同,,為橢圓的左、右焦點,M為橢圓上任意一點,若的面積最大值為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)不過原點的直線l:與橢圓C交于不同的兩點A、B,若直線l的斜率是直線、斜率的等比中項,求面積的取值范圍.
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【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為,,過作一條直線與其兩條漸近線交于兩點,若為等腰直角三角形,記雙曲線的離心率為,則______________.
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【題目】已知直線的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,曲線C的參數(shù)方程是,(為參數(shù)).
(1)求直線被曲線C截得的弦長;
(2)從極點作曲線C的弦,求各弦中點軌跡的極坐標方程.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,滿足,.數(shù)列滿足,,且.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)若,數(shù)列的前項和為,對任意的,都有,求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),,使,,()成等差數(shù)列,若存在,求出所有滿足條件的,,若不存在,請說明理由.
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【題目】(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=-2lnx+x2-2ax+a2,其中a>0.
(Ⅰ)設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解.
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知點,直線與曲線相交于,兩點,若,求的值.
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