Question

計算：
（1）

2sin100°-cos70°

cos20°

；
（2）已知sin（2α-β）=

3

5

，sinβ=-

12

13

，且α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0），求sinα的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡可得原式=

2sin(90°+10°)-cos(60°+10°)

cos20°

，進而又誘導(dǎo)公式和和差角的公式化簡可得；
（2）由題意和角的范圍可得cos（2α-β）=

4

5

，cosβ=

5

13

，進而可得cos2α=

56

65

，而sinα=

1-cos2α 2

，代值計算可得．

解答： 解：（1）化簡可得

2sin100°-cos70°

cos20°

=

2sin(90°+10°)-cos(60°+10°)

cos20°

=

2cos10°- 1 2 cos10°+ 3 2 sin10°

cos20°

=

3 ( 3 2 cos10°+ 1 2 sin10°)

cos20°

=

3 cos(30°-10°)

cos20°

=

3

；
（2）∵α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0），∴2α-β∈（π，

5π

2

），
又sin（2α-β）=

3

5

，∴2α-β∈（2π，

5π

2

），
∴cos（2α-β）=

1-sin2(2α-β)

=

4

5

，
同理由sinβ=-

12

13

和β∈（-

π

2

，0）可得cosβ=

5

13

，
∴cos2α=cos[（2α-β）+β]
=cos（2α-β）cosβ-sin（2α-β）sinβ
=

4

5

×

5

13

-

3

5

×(-

12

13

)=

56

65

，
∴sinα=

1-cos2α 2

=

3

130

=

3 130

130

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和角的范圍的確定，屬中檔題．