Question

已知橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求面積的取值范圍.

Answer 1

解：（I）因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image105.gif'>為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，

         所以，且.                     

         所以.

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image101.gif'>，

所以.                           

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image228.gif'>,                         

所以.

所以橢圓的方程為.                             

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線的斜率為,顯然.

（1）當(dāng)不存在時(shí)，直線的方程為，                      

所以.

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image236.gif'>，

所以.                             

（2）當(dāng)存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

由,消并整理得:

.                

設(shè),則

，.                    

        因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image244.gif'>

                

                

                 ，                                  

        又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，      

        所以

                 

                 

                 

                 

                                              

           設(shè)，則

          

                 

                               

                 .                 

             因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image260.gif'>,

所以.

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，    

所以.

所以.                      

所以.

所以.

所以

所以.                                 

綜合（1）（2）可知 .