Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，側(cè)面底面，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上.

（1）求證：；.

（2）若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；

（3）若，當(dāng)平面時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）先利用等腰三角形的“三線合一”和面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，再利用菱形的對角線垂直得到線線垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩直線的方向向量數(shù)量積為0進(jìn)行求解；（2）先求出兩平面的法向量，再利用法向量的夾角公式進(jìn)行證明；（3）利用三點(diǎn)共線設(shè)出的坐標(biāo)，分別求出平面的法向量和直線的方向向量，利用兩向量數(shù)量積為0進(jìn)行求解.

詳解：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，

∵ ， ∴ ，

∵ 側(cè)面底面， 平面平面 ，

∴ 底面，

∵ 底面是菱形，，

∴ ，，

以為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)?/span>軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意可得，，，，，，，，，

∵ ，∴ .

（2）由題意，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，

由，即，

令，，，所以，

又平面的一個(gè)法向量，

由，

右圖可知，二面角為銳角，所以余弦值為.

（3）∵ ，，

易得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

，，

由，即，

取，得，

又，

∵ 平面，∴ ，

即，得，

所以當(dāng)時(shí)，平面.