在正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量
DE
=
1
2
BC
，則以B，C為焦點(diǎn)，且過D，E的雙曲線離心率為（　�。�
A、
5
3
B、
3
-1
C、
2
+1
D、
3
+1
分析：設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為2c，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則E的坐標(biāo)為（
c
2
，
3
2
c），
由題意知可設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，把E的坐標(biāo)代入雙曲線的方程化簡(jiǎn)可得4a4-8a2c2+c4=0，
 求得
c2
a2
的值，即可得到
c
a
的值．
解答：解：由向量
DE
=
1
2
BC
，可得DE是△ABC的中位線，設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為2c，以BC所在直線為x軸，
以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則E的坐標(biāo)為（
c
2
，
3
2
c），由題意知可設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，
把E的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得 
c2
4a2
-
3c2
4b2
=1，∴4a4-8a2c2+c4=0，∵
c2
a2
＞1，
∴
c2
a2
=4+2
3
，∴
c
a
=
3
+1，
故選  D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出E的坐標(biāo)為（
c
2
，
3
2
c），是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則以B、C為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D、E的雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正△ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn).將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為(    )

A.90°                 B.60°                C.45°                 D.0°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練12練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.

(1)求證:A,E,F,D四點(diǎn)共圓;

(2)若正△ABC的邊長(zhǎng)為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年河北省高三上學(xué)期四調(diào)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.

（Ⅰ）求證:A,E,F,D四點(diǎn)共圓;

（Ⅱ）若正△ABC的邊長(zhǎng)為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

 

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