Question

已知函數(shù)在x=1處取得極值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)A是曲線y=f（x）上除原點(diǎn)O外的任意一點(diǎn)，過(guò)OA的中點(diǎn)且垂直于x軸的直線交曲線于點(diǎn)B，試問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)A，使得曲線在點(diǎn)B處的切線與OA平行？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2ax+a，若對(duì)于任意x₁∈R的，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）在x=1處取得極值2列出關(guān)于m，n的方程，求出m，n即可求得f（x）的解析式；
（2）由（1）得，對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)A，再利用曲線在點(diǎn)B處的切線與OA平行，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
（3）令f'（x）=0，得x=-1或x=1，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況列成表格：下面對(duì)a進(jìn)行了分類討論：當(dāng)a≤-1時(shí)，當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，根據(jù)題中條件即可得出a的取值范圍．
解答：解：（1）
（2分）
又f（x）在x=1處取得極值2（4分）
（2）由（1）得
假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)A，且，則（5分），
∴，∴（7分）
所以存在滿足條件的點(diǎn)A，此時(shí)點(diǎn)A是坐標(biāo)為或（8分）
（3），令f'（x）=0，得x=-1或x=1
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴f（x）在x=-1處取得極小值f（-1）=-2，在x=1處取得極大值f（1）=2
又∵x＞0時(shí)，f（x）＞0，∴f（x）的最小值為-2（10分）∵對(duì)于任意的x₁∈R，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁）∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²
當(dāng)a≤-1時(shí)，g（x）的最小值為g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1（11分）
當(dāng)a≥1時(shí)，g（x）最小值為g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，g（x）的最小值為g（a）=a-a²
由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此時(shí)a不存在．（12分）
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．