Question

如圖，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E、F分別為DB、CB的中點(diǎn)，
（1）證明：AE⊥BC；
（2）求直線PF與平面BCD所成的角．

Answer 1

分析：（1）連接EF，AF，由三角形中位線定理，可得EF∥DC，結(jié)合已知中直角△BCD，可得EF⊥BC，由等腰三角形三線合一可得BC⊥AF，結(jié)合線面垂直的判定定理，可得BC⊥面AEF，進(jìn)而得到AE⊥BC；
（2）連接PE，EF，因?yàn)槊鍮CD⊥面ABC，DC⊥BC，我們易得到四邊形APEF為矩形，則∠PFE為PF與面DBC所成的角，解三角形PEF，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：連接EF，AF，
EF∥DC所以EF⊥BC（2分）
因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以BC⊥AF（4分）
所以BC⊥面AEF，故BC⊥AE（6分）
（2）連接PE，EF，因?yàn)槊鍮CD⊥面ABC，DC⊥BC
所以DC⊥面ABC，而EF∥DC且EF=

1

2

DC，
所以EF∥PA且EF=PA，故四邊形APEF為矩形（9分）
易證PE⊥面BCD，
則∠PFE為PF與面DBC所成的角，（12分）
在Rt△PEF中，因?yàn)镻E=AF=

3

2

BC，EF=

1

2

DC=

1

2

BC，
故∠PFE=60°（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角，其中熟練掌握直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．