(2010•溫州一模)如圖,直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面,PA⊥平面ABC,DC=BC=2PA,為DB的中點(diǎn),
(Ⅰ)證明:AE⊥BC;
(Ⅱ)線段BC上是否存在一點(diǎn)F使得PF與面DBC所成的角為60°,若存在,試確定點(diǎn)F的位置,若不存在,說明理由.
分析:(I)欲證:BC⊥AE,先取BC的中點(diǎn)O,連接EO,AO,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知,只須證明:BC⊥面AEO即可.
(II)對于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)線段BC上存在一點(diǎn)F使得PF與面DBC所成的角為60°,再建立空間坐標(biāo)系利用空間向量的夾角公式,求出y的長值,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
解答:證明:(I)取BC的中點(diǎn)O,連接EO,AO,
EO∥DC所以EO⊥BC.(1分)
因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,所以BC⊥AO(3分)
所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE(4分)
(II)以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,OB所在的直線為y軸,
OE所在的直線為z軸建立空間坐標(biāo)系,不妨設(shè)BC=2,
P(
3
,0,1)
,設(shè)F(0,y,0),
PF
=(-
3
,y,-1)
,(7分)
而平面BCD的一個法向量
n
=(1,0,0),
則由
PF
n
|
PF
||
n
|
=
3
2
,(9分)
解得y=0,
故存在F,且F為BC的中點(diǎn),使得PF與面DBC所成的角為60°.
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與平面之間所成角、直線與平面垂直的判定、直線與平面垂直的性質(zhì)及空間向量的夾角,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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12
)=
-2
-2

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2
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3
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x2
a2
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(II)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2:y=
x2
4
-1
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