Question

袋中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球，m＞n≥4，現(xiàn)從中任取兩球，若取出的兩球是同色的概率等于取出的兩球是異色的概率，則滿足關(guān)系m+n≤40的數(shù)組（m，n）的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：首先求出取出兩個(gè)球顏色相同的概率，再求出取出兩個(gè)球的顏色不同（即兩個(gè)球的顏色是一紅一白）的概率，即可得到方程（m-n）²=m+n，再結(jié)合題中的條件求出m-n的取值是3，4，5，6，進(jìn)而得到相應(yīng)m+n的取值分別是9，16，25，36，再結(jié)合m＞n≥4求出答案．

解答：解：由題意可得：取出兩個(gè)球顏色相同即兩個(gè)球都是紅色或者都是白色，
因?yàn)槿〕鰞蓚�(gè)紅球的不同取法有

C

2 n

=

n(n-1)

2

，故取出兩個(gè)紅球的概率為

C 2 n

C 2 m+n

．
因?yàn)槿〕鰞蓚�(gè)白球的不同取法有

C

2 m

=

m(m-1)

2

，故取出兩個(gè)紅球的概率為 

C 2 m

C 2 m+n

．
所以取出兩個(gè)球顏色相同的概率等于

C 2 n + C  2 m

C 2 m+n

．
取出兩個(gè)球的顏色不同即兩個(gè)球的顏色是一紅一白，可得：取出一紅一白兩個(gè)球的概率為

m×n

C 2 m+n

．
故有

C 2 n + C  2 m

C 2 m+n

=

m×n

C 2 m+n

，化簡可得（m-n）²=m+n．
因?yàn)閙＞n≥4，所以m+n＞8，又因?yàn)閙+n≤40，故2

2

＜m-n≤

40

，故

m-n=3 m+n=9

，或 

m-n=4 m+n=16

，或 

m-n=5 m+n=25

，或 

m-n=6 m+n=36

．
解得 

m=6 n=3

（舍去），或 

m=10 n=6

，或

m=15 n=10

，或 

m=21 n=15

．
故滿足條件的數(shù)組（m，n）的個(gè)數(shù)為3，
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查等可能事件的概率公式與排列、組合、計(jì)數(shù)原理的有關(guān)問題，解決此題的關(guān)鍵是挖掘題中的隱含條件以及熟練掌握組合數(shù)與排列數(shù)的計(jì)算公式，此題對學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識靈活解決問題的能力要求較高，考查學(xué)生的計(jì)算能力，此題屬于中檔題目．