【題目】如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.

（1）證明：平面；

（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；

（2）設(shè)，利用椎體的體積公式求得 ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得時(shí)，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）解：設(shè)，則，

四面體的體積 .

，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，四面體的體積取得最大值.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，得，

同理可得平面的一個(gè)法向量為，

則.

由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如上圖所示，在正方體中， 分別是棱的中點(diǎn)， 的頂點(diǎn)在棱與棱上運(yùn)動(dòng)，有以下四個(gè)命題：

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若三角形的面積等于四邊形的面積，求的值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，射線（為原點(diǎn)）與橢圓交于點(diǎn)，滿足，求的值.

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（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）求證:平面平面；

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【題目】如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.

（1）證明：平面；

（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】如圖所示，某公園內(nèi)有兩條道路，，現(xiàn)計(jì)劃在上選擇一點(diǎn)，新建道路，并把所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域．已知， ．

（1）若綠化區(qū)域的面積為1，求道路的長度；

（2）若綠化區(qū)域改造成本為10萬元/，新建道路成本為10萬元/．設(shè)（），當(dāng)為何值時(shí)，該計(jì)劃所需總費(fèi)用最小？

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【題目】已知點(diǎn)在平行于軸的直線上，且與軸的交點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)滿足平行于軸，且.

（1）求出點(diǎn)的軌跡方程.

（2）設(shè)點(diǎn)，，求的最小值，并寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于.兩點(diǎn)，求證.兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積為定值.

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式.

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