【題目】如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)為棱的中點,當四面體的體積取得最大值時,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面,從而得到,利用勾股定理得到,利用線面垂直的判定定理證得平面;
(2)設(shè),利用椎體的體積公式求得 ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得時,四面體的體積取得最大值,之后利用空間向量求得二面角的余弦值.
(1)證明:因為,平面平面,
平面平面,平面,
所以平面,
因為平面,所以.
因為,所以,
所以,
因為,所以平面.
(2)解:設(shè),則,
四面體的體積 .
,
當時,,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減.
故當時,四面體的體積取得最大值.
以為坐標原點,建立空間直角坐標系,
則,,,,.
設(shè)平面的法向量為,
則,即,
令,得,
同理可得平面的一個法向量為,
則.
由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.
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【題目】設(shè)函數(shù),,,若對任意成立,且數(shù)列滿足:,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求證:;
(3)求證:.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個不同的極值點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,,,且當時,不等式恒成立,試求的最大值.
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【題目】若兩直線的傾斜角分別為 與,則下列四個命題中正確的是( )
A. 若<,則兩直線的斜率:k1 < k2 B. 若=,則兩直線的斜率:k1= k2
C. 若兩直線的斜率:k1 < k2 ,則< D. 若兩直線的斜率:k1= k2 ,則=
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【題目】如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)為棱的中點,當四面體的體積取得最大值時,求二面角的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:.
Ⅰ直線l的參數(shù)方程化為極坐標方程;
Ⅱ求直線l與曲線C交點的極坐標其中,.
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【題目】數(shù)列{n}中1=3,已知點(n,n+1)在直線y=x+2上,
(1)求數(shù)列{n}的通項公式;
(2)若bn=n3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】如圖,三棱錐中,點在以為直徑的圓上,平面平面,點在線段上,且,,,,點為的重心,點為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求點到平面的距離.
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