【題目】如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.

(1)證明:平面;

(2)設(shè)為棱的中點,當四面體的體積取得最大值時,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見證明;(2)

【解析】

1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面,從而得到,利用勾股定理得到,利用線面垂直的判定定理證得平面;

2)設(shè),利用椎體的體積公式求得 ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得時,四面體的體積取得最大值,之后利用空間向量求得二面角的余弦值.

(1)證明:因為,平面平面

平面平面,平面,

所以平面,

因為平面,所以.

因為,所以,

所以,

因為,所以平面.

(2)解:設(shè),則,

四面體的體積 .

時,,單調(diào)遞增;

時,,單調(diào)遞減.

故當時,四面體的體積取得最大值.

為坐標原點,建立空間直角坐標系

,.

設(shè)平面的法向量為,

,即,

,得,

同理可得平面的一個法向量為,

.

由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知平面多邊形中,,,,,的中點,現(xiàn)將三角形沿折起,使.

(1)證明:平面;

(2)求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),,若對任意成立,且數(shù)列滿足:.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)求證:

(3)求證:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若函數(shù)有兩個不同的極值點,求實數(shù)的取值范圍;

(2)若,,且當時,不等式恒成立,試求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若兩直線的傾斜角分別為 ,則下列四個命題中正確的是( )

A. <,則兩直線的斜率:k1 < k2 B. =,則兩直線的斜率:k1= k2

C. 若兩直線的斜率:k1 < k2 ,則< D. 若兩直線的斜率:k1= k2 ,則=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.

(1)證明:平面;

(2)設(shè)為棱的中點,當四面體的體積取得最大值時,求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:

直線l的參數(shù)方程化為極坐標方程;

求直線l與曲線C交點的極坐標其中,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】數(shù)列{n}中1=3,已知點(n,n+1)在直線y=x+2上,

(1)求數(shù)列{n}的通項公式;

(2)若bnn3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱錐中,點在以為直徑的圓上,平面平面,點在線段上,且,,,點的重心,點的中點.

(1)求證:平面;

(2)求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案