Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx．
（1）若a=1，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令g（x）=

f(x)

ex

，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判斷單調(diào)性，從而求函數(shù)的極值；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)構(gòu)造函數(shù)h（x），求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)h′（x）正負(fù)性，判斷h（x）的單調(diào)性，根據(jù)h（x）的正負(fù)性，判斷g（x）的單調(diào)性，從而求出參數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+x-lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

x

=

(x+1)(2x-1)

x

，
∴當(dāng)0＜x＜

1

2

，時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞減，在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
（2）g（x）=

f(x)

ex

=

x2+ax-lnx

ex

，定義域?yàn)椋?，+∞），
g′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，
令h（x）=-x2+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，則h′（x）=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a，
h^″（x）=-2-

1

x3

-

1

x2

＜0，故h′（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，
從而對(duì)（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2-a
①當(dāng)2-a≥0，即a≤2時(shí)，h′（x）≥0，∴y=h（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，
∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，
∴y=F（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，a≤2滿(mǎn)足題意；
②當(dāng)2-a＜0，即a＞2時(shí)，由h′（1）＜0，h′（

1

a

）=-

2

a

+a²+2＞0，0＜

1

a

＜1，
且y=h′（x）在區(qū)間（0，1]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，
∴y=h′（x）在區(qū)間（0，1]有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x₀，
∴h（x）在區(qū)間（0，x₀）上單調(diào)遞增，在（x₀，1]上單調(diào)遞減，
∴h（x₀）＞h（1）=0，而h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a＜0，
且y=h（x）在區(qū)間（0，1]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，
y=h（x）在區(qū)間（0，1）有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x′，
即y=F′（x）在區(qū)間（0，1）有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x′，
又F（x）在區(qū)間（0，x′）上單調(diào)遞減，在（x′，1）上單調(diào)遞增，
矛盾，a＞2不合題意；
綜上所得：a的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)解決參數(shù)問(wèn)題，利運(yùn)用了二次求導(dǎo)，是一道導(dǎo)數(shù)的綜合性問(wèn)題．屬于難題．