Question

已知函數f（x）是定義在（0，+∞）的函數，對任意實數x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＜0；f（3）=-1．
（1）求f（9）；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（3）在我們所學的函數中寫出一個符合條件的函數，在此條件下解不等式：f（x-2）＞1-f（

1

4-x

）．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用賦值法結合條件即可求f（9）；
（2）根據函數單調性的定義，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（3）根據條件確定滿足條件的函數解不等式即可得到結論．

解答： 解：（1）∵f（3）=-1．
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2f（3）=-2；
（2）遞減函數；取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，則f（

x2

x1

）＜0，
又∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

•）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調遞減．
（3）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（1）=0，且函數在（0，+∞）上的單調遞減，
則滿足此條件的函數為單調遞減的對稱函數，
不妨設f（x）=log

1

3

x，
則不等式f（x-2）＞1-f（

1

4-x

）等價為f（x-2）+f（

1

4-x

）＞1．
即f[（x-2）（

1

4-x

）]＞1，
即f[（x-2）（

1

4-x

）]＞f（

1

3

），
則等價為

x-2＞0 1 4-x ＞0 (x-2)• 1 4-x ＜ 1 3

，
即

x＞2 x＜4 3(x-2)＜4-x

，解得2＜x＜

5

2

．
即此時不等式的解集為（2，

5

2

）

點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法，綜合考查函數的性質是應用．