Question

5．已知A，B，C是半徑為l的圓O上的三點，AB為圓O的直徑，P為圓O內(nèi)一點（含圓周），則$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范圍為[-$\frac{4}{3}$，4]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$化為3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1，利用參數(shù)表示點C（cosα，sinα），P（rcosβ，rsinβ）且0≤r≤1；根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1的最值即可．

解答 解：根據(jù)題意，$\overrightarrow{OA}$=-$\overrightarrow{OB}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
∴$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）
+（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OC}$）+（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）
=3${\overrightarrow{PO}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OC}$
=3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1，
以點O為坐標原點，建立直角坐標系，
設(shè)點C（cosα，sinα），點P（rcosβ，rsinβ），且0≤r≤1；
則3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1=3r²-2rcos（α-β）-1，
∴3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1≤3r²+2r-1≤4，
且3${\overrightarrow{OP}}^{2}$+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$-1≥3r²-2r-1≥-$\frac{4}{3}$；
∴$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$$+\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范圍是[-$\frac{4}{3}$，4]．
故答案為：[-$\frac{4}{3}$，4]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積和利用坐標表示向量以及三角函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是難題．