【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD= ,AB=BC=1,CD=2,PA⊥平面ABCD,E是PD的中點(diǎn).
(1)求證:AE∥平面PBC;
(2)若直線AE與直線BC所成角等于 ,求二面角D﹣PB﹣A平面角的余弦值.
【答案】
(1)證明:取PC中點(diǎn)F,連結(jié)EF、BF,
∴△PCD中,EF ,AB ,
∴EF AB,
∴四邊形ABFE為平行四邊形,
∵AE∥BF,AE平面PBC,BF平面PBC,
∴AE∥平面PBC.
(2)解:AE與直線BC所成角為 , ,
∴BP= ,∴PA= ,
延長(zhǎng)BA一倍到H,連結(jié)DH,再作HG⊥BP,連結(jié)DG,
則∠DGH是二面角D﹣PB﹣A的平面角,
DH=1,F(xiàn)G× ,HG= ,
∴tan∠DGH= ,
∴cos∠DGH= .
∴二面角D﹣PB﹣A平面角的余弦值為 .
【解析】(1)取PC中點(diǎn)F,連結(jié)EF、BF,推導(dǎo)出四邊形ABFE為平行四邊形,從而AE∥BF,由此能證明AE∥平面PBC.(2)AE與直線BC所成角為 ,延長(zhǎng)BA一倍到H,連結(jié)DH,再作HG⊥BP,連結(jié)DG,∠DGH是二面角D﹣PB﹣A的平面角,由此能求出二面角D﹣PB﹣A平面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校從參加某次知識(shí)競(jìng)賽的同學(xué)中,選取60名同學(xué)將其成績(jī)(百分制,均為整數(shù))分成, , , , , 六組后,得到部分頻率分布直方圖(如圖),觀察圖形中的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)求分?jǐn)?shù)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)從頻率分布直方圖中,估計(jì)本次考試成績(jī)的中位數(shù);
(3)若從第1組和第6組兩組學(xué)生中,隨機(jī)抽取2人,求所抽取2人成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在班級(jí)活動(dòng)中,4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目:(寫出必要的數(shù)學(xué)式,結(jié)果用數(shù)字作答)
(1)三名女生不能相鄰,有多少種不同的站法?
(2)四名男生相鄰有多少種不同的排法?
(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少種不同的排法?
(4)甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法?(甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(﹣2,0)與點(diǎn)(1,1).
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)P點(diǎn)作兩條互相垂直的直線PA,PB,交橢圓于A,B.
①證明直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn);
②求△ABP面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)x,y滿足約束條件 ,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值M,若M的取值范圍是[1,2],則點(diǎn)M(a,b)所經(jīng)過(guò)的區(qū)域面積= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),命題:實(shí)數(shù)滿足不等式;命題:實(shí)數(shù)滿足不等式,若是的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ (ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)在 上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)解不等式:
(2)有4名男生和3名女生
i)選出4人去參加座談會(huì),如果3人中必須既有男生又有女生,有多少種選法?
ii)7人排成一排,甲乙二人之間恰好有2個(gè)人,有多少種不同的排法?
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【題目】已知下列兩個(gè)命題: 函數(shù)在[2,+∞)單調(diào)遞增; 關(guān)于的不等式的解集為.若為真命題, 為假命題,求的取值范圍.
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