Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割成面積相等的兩部分，則b的取值范圍是

(1-

2

2

，

1

2

)

．

Answer 1

分析：先求得直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用面積公式、點(diǎn)到直線以及兩點(diǎn)之間的距離公式再分三種情況分別討論：①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b=

1

3

；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得 b＜

1

2

；③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞1-

2

2

，綜合起來可得結(jié)論．

解答：解：由題意可得，三角形ABC的面積為 S=

1

2

•AB•OC=1，

由于直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0可得點(diǎn)M在射線OA上．
設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為 N，則由

y=ax+b x+y=1

，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

1-b

a+1

，

a+b

a+1

），
①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，則-

b

a

=-1，且

a+b

a+1

=

1

2

，解得a=b=

1

3

，
②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，則點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于

1

2

，即

1

2

•MB•yN=

1

2

，
即

1

2

•（1+

b

a

）•

1-b

a+1

=

1

2

，解得a=

b2

1-2b

＞0，故b＜

1

2

，
③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則-

b

a

＜-1，b＞a，設(shè)直線y=ax+b和AC的交點(diǎn)為P，
則由

y=ax+b y=x+1

求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1-b

a-1

，

a-b

a-1

），
此時(shí)，NP=

( 1-b a+1 - 1-b a-1 )2+( a+b a+1 - a-b a-1 )2

=

[ -2(1-b) (a+1)(a-1) ]2+[ 2a(b-1) (a+1)(a-1) ]2

=

4(1+a2)(1-b)2 (a+1)2(a-1)2

=

2|1-b|

|(a+1)(a-1)|

1+a2

，
此時(shí)，點(diǎn)C（0，1）到直線y=ax+b的距離等于

|0-1+b|

1+a2

，
由題意可得，三角形CPN的面積等于

1

2

，即

1

2

•

2|1-b|

|(a+1)(a-1)|

1+a2

•

|0-1+b|

1+a2

=

1

2

，
化簡可得2（1-b）²=|a²-1|．
由于此時(shí) 0＜b＜a＜1，∴2（1-b）²=|a²-1|=1-a² ．
兩邊開方可得

2

（1-b）=

1-a2

＜1，則1-b＜

1

2

，即b＞1-

2

2

，
綜合以上可得，b=

1

3

可以，且b＜

1

2

，且b＞1-

2

2

，即b的取值范圍是(1-

2

2

，

1

2

)，
故答案為：(1-

2

2

，

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查確定直線的要素，點(diǎn)到直線和兩點(diǎn)之間的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查運(yùn)算能力和綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．