解答題

已知函數(shù)f(x)＝x2－1(x≥1)的曲線為C1，曲線C2與C1關于直線y＝x對稱．

(1)求曲線C2的方程y＝g(x)；

(2)設函數(shù)y＝g(x)的定義域為M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求證：|g(x1)－g(x2)|＜|x1－x2|：

(3)設A、B為曲線C2上任意不同兩點，證明直線AB與直線y＝x必相交．

答案：
解析：

　　(1)曲線C1和C2關于直線y＝x對稱，則y(x)為f(x)的反函數(shù)．

　　由y＝x2－1(x≥1)得x＝．

　　∴曲線C2的方程g(x)＝(x≥0)．

　　(2)設x1＞x2∈M，且x1≠x2．

　　則x1－x2≠0且x1≥0，x2≥0．

　　∴|g(x1)－g(x2)|＝|－|＝≤＜|x1－x2|．

　　(3)證明：設A、B為曲線C2上任意不同兩點(x1，y1)，(x2，y2)．

　　x1，x2∈M，且x1≠x2，由(2)知

　　|kAB|＝＝||＜1．

　　∴直線AB的斜率|kAB|≠±1．

　　而直線y＝x的斜率為1．

　　∴直線AB與直線y＝x必相交．


練習冊系列答案
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(2)|f(x2)－f(x1)|＜2|x2－x1|；

(3)|f(x2)－f(x1)|＜1．

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