Question

已知下列四個命題：
①若一個圓錐的底面半徑縮小到原來的

1

2

，其體積縮小到原來的

1

4

；
②若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則它們的平均數(shù)也相等；
③直線x+y+1=0與圓x²+y²=

1

2

相切；
④“10^a≥10^b”是“l(fā)ga≥lgb”的充分不必要條件；
⑤過M（2，0）的直線l與橢圓

x2

2

+y²=1交于P₁P₂兩點，線段P₁P₂中點為P，設直線l的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于-

1

2

．
其中真命題的序號是：

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：①一個圓錐的底面半徑縮小到原來的

1

2

，則圓錐的底面積就縮小到原來的

1

4

，利用圓錐的體積公式，可得結論；
②若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，它們的平均數(shù)不一定相等；
③圓心到直線的距離為d=

1

2

=

2

2

，即可判斷；
④“10^a≥10^b”，可以得出a≥b，不可以得出“l(fā)ga≥lgb”，反過來，“l(fā)ga≥lgb”，可得a≥b＞0，∴“10^a≥10^b”；
⑤設點，代入橢圓方程，利用點差法，結合線段P₁P₂的中點為P，即可得到結論．

解答： 解：①一個圓錐的底面半徑縮小到原來的

1

2

，則圓錐的底面積就縮小到原來的

1

4

，又圓錐的體積=

1

3

×底面積×高，根據(jù)積的變化規(guī)律可得，體積縮小到原來的

1

4

，故①正確；
②若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，它們的平均數(shù)不一定相等，故②不正確；
③∵圓心到直線的距離為d=

1

2

=

2

2

，∴直線x+y+1=0與圓x²+y²=

1

2

相切，故③正確；
④“10^a≥10^b”，可以得出a≥b，不可以得出“l(fā)ga≥lgb”，反過來，“l(fā)ga≥lgb”，可得a≥b＞0，∴“10^a≥10^b”，“10^a≥10^b”，是“l(fā)ga≥lgb”的必要不充分條件；
⑤設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，兩式相減可得：（x₁-x₂）×2x+2（y₁-y₂）×2y=0，
∵直線l的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP（O是原點）的斜率為k₂，
∴k₁k₂=-

1

2

，正確．
故答案為：①③⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷，考查直線與圓的位置關系，考查直線與橢圓的位置關系，綜合性強．