Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=x²e^x．
（1）求曲線f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線方程；
（2）若f（x）＜ax對(duì)x∈（-∞，0）恒成立，求a的取值范圍；
（3）求整數(shù)n的值，使函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$在區(qū)間（n，n+1）上有零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f'（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）由f（x）＜ax對(duì)x∈（-∞，0）恒成立，分離參數(shù)a，可得a＜xe^x，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xe^x，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值可得a的取值范圍；
（3）由F（x）=0，得$f（x）=\frac{1}{x}$，當(dāng)x＜0時(shí)方程不成立，可得F（x）的零點(diǎn)在（0，+∞）上，由函數(shù)單調(diào)性可得方程$f（x）=\frac{1}{x}$僅有一解x₀，再由零點(diǎn)判定定理求得整數(shù)n的值．

解答 解：（1）f'（x）=（x²+2x）e^x，
∴f'（1）=3e，
∴所求切線方程為y-e=3e（x-1），即y=3ex-2e；
（2）∵f（x）＜ax，對(duì)x∈（-∞，0）恒成立，∴$a＜\frac{f（x）}{x}=x{e^x}$，
設(shè)g（x）=xe^x，g'（x）=（x+1）e^x，
令g'（x）＞0，得x＞-1，令g'（x）＜0得x＜-1，
∴g（x）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，0）上遞增，
∴$g{（x）_{min}}=g（{-1}）=-\frac{1}{e}$，
∴$a＜-\frac{1}{e}$；
（3）令F（x）=0，得$f（x）=\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＜0時(shí)，$f（x）={x^2}{e^x}＞0，\frac{1}{x}＜0$，
∴F（x）的零點(diǎn)在（0，+∞）上，
令f'（x）＞0，得x＞0或x＜-2，
∴f（x）在（0，+∞）上遞增，又$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上遞減，
∴方程$f（x）=\frac{1}{x}$僅有一解x₀，且x₀∈（n，n+1），n∈Z，
∵$F（1）=e-1＞0，F(xiàn)（{\frac{1}{2}}）=\frac{{\sqrt{e}}}{4}-2＜0$，
∴由零點(diǎn)存在的條件可得${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$，則n=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，是中檔題．