Question

已知橢圓的離心率為，點P（2，1）是橢圓上一定點，若斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點A、B．
（ I）求橢圓方程；
（ II）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

解：（ I）∵，
∴，
又P（2，1）在橢圓上，代入橢圓方程，
得：，
∴a²=8，b²=2，
橢圓方程為：…（6分）
（ II）設直線AB的方程為：，
與橢圓聯(lián)列方程組得，，
代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，…（8分）
∵△=16m²-8（4m²-8）＞0，
解得，-2＜m＜2
由韋達定理得：x₁+x₂=-2m，
x₁x₂=2m²-4=
P到直線AB的距離：，…（12分）

當4-m²=m²，
即時，
S_△PAB有最大值2 …（15分）
分析：（ I）由，知，由此能求出橢圓方程．
（ II）設直線AB的方程為：，與橢圓聯(lián)列方程組得，，代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，再由根的判別式和韋達定理能求出S_△PAB的最大值．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．