若函數(shù)f）=2cos2x+
3
sin2x+a（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的周期及對(duì)稱軸方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最小值為5，求函數(shù)f（x）在[0，
π
2
]區(qū)間上的最大值．
考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，f（x）=2sin（2x+
π
6
）a+1+a，然后，確定該函數(shù)的周期和對(duì)稱軸方程；
（2）直接根據(jù)x∈[0，
π
2
]，得到函數(shù)的值域，然后，借助于其最小值為5，從而確定a的取值，最后，求解該函數(shù)的最大值．
解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2cos2x+
3
sin2x+a（a∈R）
=1+cos2x+
3
sin2x+a
=2sin（2x+
π
6
）a+1+a
∴T=
2π
2
=π，
∴函數(shù)f（x）的周期π，
令2x+
π
6
=
π
2
+kπ，k∈Z，
∴x=
π
6
+
1
2
kπ，
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程x=
π
6
+
1
2
kπ，k∈Z；
（2）∵x∈[0，
π
2
]，
∴（2x+
π
6
）∈[
π
6
，
7π
6
]，
∴sin（2x+
π
6
）∈[-
1
2
，1]，
∴f（x）∈[
1
2
+a，
3
2
+a]，
∵
1
2
+a=5，
∴a=
9
2
，
∴數(shù)f（x）在[0，
π
2
]區(qū)間上的最大值
3
2
+
9
2
=6．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角公式及其靈活運(yùn)用，輔助角公式、三角函數(shù)的最值等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，
△MF1F2為等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（0，-2）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，在直線y=-
1
2
上是否存在點(diǎn)N，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是計(jì)算1+2+
1
2
+3+
1
3
+4+
1
4
+…+2012+
1
2012
的程序框圖．
（1）程序框圖中①應(yīng)填
 
，②應(yīng)填
 
．
（2）寫出程序框圖對(duì)應(yīng)的程序．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四川省第十二屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2014年8月18日在我市開幕．為了搞好接待工作，大會(huì)組委會(huì)在四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高（單位：cm）編成如下莖葉圖：

若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”
（1）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有1人是“高個(gè)子”的概率是多少？
（2）若從身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中選出男、女各一人，求這2人身高相差5cm以上的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

閱讀：已知a、b∈（0，+∞），a+b=1，求y=
1
a
+
2
b
的最小值．解法如下：y=
1
a
+
2
b
=（
1
a
+
2
b
）（a+b）=
b
a
+
2a
b
+3≥3+2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)
b
a
=
2a
b
，即a=
2
-1，b=2-
2
時(shí)取到等號(hào)，則y=
1
a
+
2
b
的最小值為3+2
2
．應(yīng)用上述解法，求解下列問題：
（1）已知a，b，c∈（0，+∞），a+b+c=1，求y=
1
a
+
1
b
+
1
c
的最小值；
（2）已知x∈（0，
1
2
），求函數(shù)y=
1
x
+
8
1-2x
的最小值；
（3）已知正數(shù)a1、a2、a3，…，an，a1+a2+a3+…+an=1，求證：S=
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+
a32
a3+a4
+…+
an2
an+a1
≥
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinωxcosωx+cos2ωx，x∈R，ω＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最小正周期為
π
2
，則當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2x+2
3
sinxcosx+3cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知f（a）=3，且α∈（0，
π
2
），求α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=sinx+2sin（
π
4
+
x
2
）cos（
π
4
+
x
2
）．
（1）求f（x）在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（α）=
2
2
，α∈（-
π
2
，0），求α的值；
（3）若sin
x
2
=
4
5
，x∈（
π
2
，π），求f（x）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-
π
3
）+2sin2x，
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若α為銳角，且f（
α
2
）=
3
4
，求sinα的值．

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