Question

已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓
心的軌跡為．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．
（Ⅲ）由（Ⅱ）你能否得到一個更一般的結論？并且對雙曲線寫出一個類似的結論（皆不必證明）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題知圓圓心為，半徑為，設動圓的圓心為
半徑為，，由,可知點在圓內，所以點的軌跡是以為焦點
的橢圓，設橢圓的方程為，由，得，
故曲線的方程為                 ………………………………4分
（Ⅱ）當時，由可得
當，時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點
當，時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點
當時得，代入，消去整理得：
--------------------------------① …………6分
由點為曲線上一點，故．即
于是方程①可以化簡為：
解得．將代入得，說明直線與曲線有且只有一個交點．
綜上，不論點在何位置，直線：與曲線恒有且只有一個交點，交點即                           …………………………………………8分
（Ⅲ）更一般的結論：對橢圓，過其上任意一點的切線方程為；
在雙曲線中的類似的結論是：過雙曲線 上任意一點的切線方程為：．…………………………………12分

略