Question

已知定點A（-1，0），F(xiàn)（2，0），定直線l：x=。不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍。設(shè)點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N。
 （I）求E的方程；
 （Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則
化簡得；
（Ⅱ）①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時，設(shè)BC的方程為y=k（x-2）（k≠0），與雙曲線方程聯(lián)立消去y得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0
由題意知，3-k²≠0且△>0
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
則

       
        
       
因為
所以直線AB的方程為
因此M點的坐標(biāo)為

同理可得
因此
                  
                  
②當(dāng)直線BC與x軸垂直時，其方程為x=2
則B（2，3），C（2，-3），AB的方程為y=x+l
因此M點的坐標(biāo)為，
同理可得
因此
綜上
即
故以線段MN為直徑的圓過點F。