精英家教網(wǎng)已知點(diǎn)E(-2,0),F(xiàn)(2,0),曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足
ME
MF
=-3,定點(diǎn)A(2,1),由曲線(xiàn)C外一點(diǎn)P(a,b)向曲線(xiàn)C引切線(xiàn)PQ,切點(diǎn)為Q,且滿(mǎn)足|PQ|=|PA|.
(Ⅰ)求線(xiàn)段PA的最小值;
(Ⅱ)若以P為圓心所作的⊙P與曲線(xiàn)C有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時(shí)⊙P的標(biāo)準(zhǔn)方程.
分析:(Ⅰ)設(shè)出M的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn),可得曲線(xiàn)C的方程;求出P的坐標(biāo)之間的關(guān)系,表示出線(xiàn)段PQ長(zhǎng),利用配方法可求PQ的最小值;
(Ⅱ)根據(jù)P為圓心所作的圓P與曲線(xiàn)C有公共點(diǎn),確定半徑的范圍,利用配方法,即可求半徑取最小值時(shí)圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)設(shè)M(x,y),則
EM
=(x+2,y),
FM
=(x-2,y),
EM
FM
=(x+2,y)•(x-2,y)=x2-4+y2=-3,
即M點(diǎn)軌跡(曲線(xiàn)C)方程為 x2+y2=1,
即曲線(xiàn)C是以原點(diǎn)為圓心的單位圓.
連OP,∵Q為切點(diǎn),PQ⊥OQ,由勾股定理有:PQ2=OP2-OQ2
又由已知PQ=PA,
故PQ2=PA2
即:a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,
化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系為:2a+b-3=0,即b=-2a+3.
∴PQ=
a2+b2-1
=
a2+(-2a+3)2-1
=
5a2-12a+8
=
5(a-
6
5
)
2
+
4
5

故當(dāng)a=
6
5
時(shí),PQ取得最小值為
2
5
5
 即線(xiàn)段PQ長(zhǎng)的最小值為
2
5
5

(Ⅱ)設(shè)圓P的半徑為R,則
∵圓P與圓O有公共點(diǎn),圓O的半徑為1,
∴|R-1|≤|OP|≤R+1,
即R≥|OP|-1且R≤|OP|+1.
而|OP|=
a2+b2
=
a2+(-2a+3)2
=
5(a-
6
5
)2+
9
5

故當(dāng)a=
6
5
時(shí),|OP|min=
3
5
5

此時(shí)b=-2a+3=
3
5
,Rmin=
3
5
5
-1.
∴半徑取最小值時(shí)圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-
6
5
 )2+(y-
3
5
 )2=(
3
5
5
 -1)2
點(diǎn)評(píng):本題考查圓的方程,考查軌跡方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查圓與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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(2008•寧波模擬)曲線(xiàn)C是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(
5
,0)
的雙曲線(xiàn)的右支,已知它的一條漸近線(xiàn)方程是y=
1
2
x

(1)求曲線(xiàn)C的方程;
(2)已知點(diǎn)E(2,0),若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同于點(diǎn)E的P,R兩點(diǎn),且
EP
ER
=0
,求證:直線(xiàn)l過(guò)一個(gè)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

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1
2
x

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(2)已知點(diǎn)E(2,0),若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同于點(diǎn)E的P,R兩點(diǎn),且
EP
ER
=0
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(2)已知點(diǎn)E(2,0),若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同于點(diǎn)E的P,R兩點(diǎn),且,求證:直線(xiàn)l過(guò)一個(gè)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

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