Question

曲線C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點(diǎn)E（2，0），若直線l與曲線C交于不同于點(diǎn)E的P，R兩點(diǎn)，且，求證：直線l過一個(gè)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設(shè)曲線C的方程為，由題意可得，a=2b，a²+b²=5，從而可求a，b，進(jìn)而可求曲線C的方程
（2）設(shè)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由，，由方程的根與系數(shù)關(guān)系及=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，代入可求得k，m之間的關(guān)系則直線l由直線方程的點(diǎn)斜式可求直線所過的定點(diǎn)；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，x₁=x₂，y₁=-y₂，，由，代入可求
解答：解：（1）設(shè)曲線C的方程為
∵一條漸近線方程是，c=
∴a=2b，a²+b²=c²=5
∴a=2，b=1
故所求曲線C的方程是…（5分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m
由，
此時(shí)1-4k²≠0
∴…（7分）
由
=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
（1+k²）•+（km-2）•+m²+4=0
整理有…（10分）
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線L過點(diǎn)E，不合題意
當(dāng)m=-，則直線l的方程為
則直線l過定點(diǎn)（）…（12分）
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，x₁=x₂，y₁=-y₂，
由，
有
從而有．此時(shí)直線L過點(diǎn)
故直線l過定點(diǎn)…（15分）
點(diǎn)評：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，屬于直線與曲線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于綜合性試題．