Question

函數(shù)f（x）滿足：①定義域是（0，+∞） ②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜2；③對(duì)任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2
（1）求出f（1）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；
（3）寫出一個(gè)滿足上述條件的具體函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）要求f（1），結(jié)合已知由題意對(duì)任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2可考慮賦值，令x=y=1，可求f（1）．
（2）要證函數(shù)的單調(diào)性，需設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，由已知x＞1時(shí)，f（x）＜2可得，f（

x2

x1

）＜2，故構(gòu)造 f（x₂）=f（

x2

x1

×x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＜2+f（x₁）-2=f（x₁），從而可證．
（3）由任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2，類似對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，聯(lián)想對(duì)數(shù)函數(shù)．

解答：解：（1）由題意對(duì)任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2
∴f（1）=2  …（4分）
（2）f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
事實(shí)上，設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∵x＞1時(shí)，f（x）＜2可得，f（

x2

x1

）＜2，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

×x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＜2+f（x₁）-2=f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞上單調(diào)遞減                              …（10分）
（3）f（x）=2+log_ax，其中a可以�。�0，1）內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)；     …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以抽象函數(shù)為載體，考查利用賦值求解函數(shù)值的問題，而函數(shù)的單調(diào)性的證明的最基本的方法是利用函數(shù)單調(diào)性的定義，解決此問題的關(guān)鍵是要根據(jù)題目中的條件進(jìn)行合理的構(gòu)造，以達(dá)到比較f（x₁），f（x₂）的大小的目的．