Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°．
（Ⅰ）求棱柱的高；
（Ⅱ）求B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱可知，AA₁即為其高．∠A₁BC是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角或其補角．要判斷出△A₁BC為正三角形，再在在Rt△A₁AB中求解．
（Ⅱ）連接B₁A，設B₁A∩BA₁=E，判斷出∠B₁C₁E就是B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角，在Rt△B₁EC₁中求解即可．
解答：解：（Ⅰ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱可知，AA₁即為其高．
如圖，因為BC∥B₁C₁，所以∠A₁BC是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角或其補角．
連接A₁C，因為AB=AC，所以．
在Rt△ABC中，由AB=AC=1，∠BAC=90°，可得．（3分）
又異面直線A₁B與B₁C₁所成的角為60°，所以∠A₁BC=60°，即△A₁BC為正三角形．
于是．
在Rt△A₁AB中，由，得AA₁=1，即棱柱的高為1．（3分）
（Ⅱ）連接B₁A，設B₁A∩BA₁=E，由（Ⅰ）知，B₁A₁=AA₁=1，
所以矩形BAA₁B₁是正方形，所以B₁E⊥A₁B．（2分）
又由AC₁⊥A₁B₁BA，得 A₁C₁⊥B₁E，于是得B₁E⊥平面A₁BC₁．
故∠B₁C₁E就是B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角．（2分）
在Rt△A₁B₁C₁中，由A₁B₁=A₁C₁=1，∠B₁A₁C₁=90°，
可得．
在Rt△B₁EC₁中，由，，
得，故∠B₁C₁E=30°．
因此B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角30°．                                 （3分）
點評：本題考查幾何體的結構特征，異面直線所成的角、線面角的概念及計算．考查空間想象能力、推理論證、計算能力．