Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點為（$\sqrt{3}$，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于A，B兩點，求證：點O到直線AB的距離為定值；
（3）在（2）的條件下，求△OAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)焦點和離心率列方程解出a，b，c；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理及點到直線公式，可證得結(jié)論；
（3）由弦長公式，求出弦AB的距離最大值即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
可得橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（3分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若k存在，則設(shè)直線AB：y=kx+m．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0…（5分）
△＞0，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}\end{array}\right.$…（6分）
有OA⊥OB知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（k x₁+m） （k x₂+m）
=（1+k²） x₁x₂+k m（x₁+x₂）=0     …（8分）
代入，得5 m²=4 k²+4原點到直 線AB的距離d=$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（9分）
當AB的斜率不存在時，|x₁|=|y₁|，可得$|{x_1}|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=d$，依然成立．
所以點O到直線AB的距離為定值$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（10分）
說明：直接設(shè)直線OA的斜率為K相應(yīng)給分
（3）${|{AB}|^2}=（1+{k^2}）{（{x_1}-{x_2}）^2}=（1+{k^2}）[{{{（\frac{8km}{{1+4{k^2}}}）}^2}-4×\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}}]$
=$\frac{{2\sqrt{4+4{k^2}}\sqrt{16{k^2}+1}}}{{1+4{k^2}}}≤\frac{{4+4{k^2}+16{k^2}+1}}{{1+4{k^2}}}=5$…（12分）
當且僅當$16{k^2}=\frac{1}{k^2}$，即$k=±\frac{1}{2}$時等號成立．…（13分）
當斜率不存在時，經(jīng)檢驗|AB|＜$\sqrt{5}$．所以S_△OAB≤$\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\sqrt{5}=1$
綜合得：△OAB面積的最大值為1．…（14分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查點到直線的距離為定值的證明，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式和弦長公式的合理運用