已知函數(shù)f（x）=loga
2+x2-x
（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（3）當0＜a＜1時，求使f（x）＞0成立時x的取值范圍．
分析：（1）由
2+x
2-x
＞0得 （x+2）（x-2）＜0，解得x的范圍，即可求得定義域．
（2）函數(shù)f(x)=loga
2+x
2-x
是奇函數(shù)，證明如下：任意取x∈（-2，2），根據(jù)f（-x）=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）因為loga
2+x
2-x
＞0，且  0＜a＜1，所以，0＜
2+x
2-x
＜1，由此求得x的范圍．
解答：解：（1）由
2+x
2-x
＞0得  （2+x）（2-x）＞0，則  （x+2）（x-2）＜0，
解得-2＜x＜2．…（2分）
即定義域為（-2，2）．…（3分）
（2）函數(shù)f(x)=loga
2+x
2-x
是奇函數(shù)．…（4分）
證明如下：任意取x∈（-2，2），
則 f(x)=loga
2+x
2-x
，f(-x)=loga
2-x
2+x
，…（5分）
又 f(-x)=loga
2-x
2+x
=loga(
2+x
2-x
)-1=-loga
2+x
2-x
=-f（x），
因此函數(shù)f(x)=loga
2+x
2-x
是奇函數(shù)．…（8分）
（3）因為loga
2+x
2-x
＞0，且  0＜a＜1，所以，0＜
2+x
2-x
＜1，…（10分）
由
2+x
2-x
＞0，解得-2＜x＜2；由
2+x
2-x
＜1，解得 x＜0或x＞2．
綜合可得-2＜x＜0．
因此，當0＜a＜1時，求使f（x）＞0成立時x的取值范圍為（-2，0）．…（14分）
點評：本題主要求函數(shù)的定義域、函數(shù)的奇偶性的判斷和證明方法，解對數(shù)不等式，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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