Question

在等比數(shù)列{a_n}中，首項為a₁，公比為q，S_n表示其前n項和．若a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，

S6

S3

=9，記數(shù)列{log₂a_n}的前n項和為T_n，當n=

 

時，T_n有最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：若q=1，則

S6

S3

=2≠9，與題設(shè)矛盾；若q≠1，則

S6

S3

=1+q³，故有1+q³=9，解得q=2．所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．由此入手能夠推導出當n=11時，T_n有最小值．

解答： 解：若q=1，則

S6

S3

=2≠9，
與題設(shè)矛盾，此情況不存在；
若q≠1，則

S6

S3

=1+q³，
故有1+q³=9，解得q=2．
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．
所以數(shù)列{log₂a_n}是以log₂a為首項，1為公差的等差數(shù)列．
令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0?n≤1-log₂a．
因為a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，
所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，
即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，
可知滿足log₂a_n≤0的最大的n值為11．
所以，數(shù)列{log₂a_n}的前11項均為負值，
從第12項開始都是正數(shù)．因此，當n=11時，T_n有最小值．
故答案為：11．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的合理運用．