設(shè)M點是圓C:x2+(y-4)2=4上的動點,過點M作圓O:x2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,切線MA,MB分別交x軸于D,E兩點.是否存在點M,使得線段DE被圓C在點M處的切線平分?若存在,求出點M的縱坐標;若不存在,說明理由.

解:設(shè)存在點M(x0,y0)滿足條件
設(shè)過點M且與圓O相切的直線方程為:y-y0=k(x-x0
則由題意得,,化簡得:
設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,則
圓C在點M處的切線方程為
令y=0,得切線與x軸的交點坐標為
又得D,E的坐標分別為
由題意知,
用韋達定理代入可得,,與聯(lián)立,

分析:設(shè)存在點M(x0,y0)滿足條件,設(shè)過點M且與圓O相切的直線方程為:y-y0=k(x-x0)通過點到直線的距離公式,求出直線MA,MB的斜率分別為k1,k2的關(guān)系,通過圓C在點M處的切線方程,求出切線與x軸的交點坐標,D,E的坐標,然后利用斜率關(guān)系式求出點M的縱坐標.
點評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,點到直線的距離公式的應(yīng)用,圓的切線方程的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.
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如圖,設(shè)M點是圓C:x2+(y-4)2=4上的動點,過點M作圓O:x2+y2=18的兩條切線,切點分別為A,B,切線MA,MB分別交x軸于D,E兩點。
(1)求四邊形MAOB面積的最小值;
(2)是否存在點M,使得線段DE被圓C在點M處的切線平分?若存在,求出點M的縱坐標;若不存在,說明理由。

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