Question

設(shè)M點(diǎn)是圓C：x²+（y-4）²=4上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，切線MA，MB分別交x軸于D，E兩點(diǎn)．是否存在點(diǎn)M，使得線段DE被圓C在點(diǎn)M處的切線平分？若存在，求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀）滿足條件，設(shè)過點(diǎn)M且與圓O相切的直線方程為：y-y₀=k（x-x₀）通過點(diǎn)到直線的距離公式，求出直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂的關(guān)系，通過圓C在點(diǎn)M處的切線方程，求出切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，D，E的坐標(biāo)，然后利用斜率關(guān)系式求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，y₀）滿足條件
設(shè)過點(diǎn)M且與圓O相切的直線方程為：y-y₀=k（x-x₀）
則由題意得，

|-kx0+y0|

1+k2

=1，化簡得：(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0
設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，則k1+k2=

2x0y0

x02-1

，k1k2=

y02-1

x02-1

圓C在點(diǎn)M處的切線方程為y-y0=

-x0

y0-4

(x-x0)
令y=0，得切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

y02-4y0

x0

+x0，0)
又得D，E的坐標(biāo)分別為(

-y0

k1

+x0，0)，(

-y0

k2

+x0，0)
由題意知，2(

y02-4y0

x0

+x0)=

-y0

k1

+x0+

-y0

k2

+x0
用韋達(dá)定理代入可得，

y 0-4

x0

=

-x0y0

y02-1

，與x02+(y0-4)2=4聯(lián)立，
得y0=

13+ 105

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，圓的切線方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．