Question

在圓心為O、半徑為常數(shù)R的半圓板內(nèi)畫內(nèi)接矩形（如圖），當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬各取多少時(shí)，矩形的面積最大？求出這個(gè)最大面積．

Answer 1

分析：如圖用圓的半徑R與圖中所示的角（可設(shè)出）表示出來(lái)，把此矩形的面積表示出來(lái)，再用三角函數(shù)的相關(guān)的公式化簡(jiǎn)，最后用三角函數(shù)的有界性判斷最大值在什么情況下取到，求出矩形的最大面積以及矩形的長(zhǎng)與寬的大�。�

解答：解：設(shè)矩形在半圓板直徑上的一邊長(zhǎng)為2x，α角如圖所示，
則x=Rcosα，另一邊的長(zhǎng)為Rsinα，矩形面積S為
S=2R²sinαcosα．
=R²sin2α
當(dāng)2α=

π

2

即α=

π

4

時(shí)，也即長(zhǎng)為2Rcos

π

4

=

2

R，
寬為Rsin

π

4

=

2

2

R時(shí)，矩形面積最大
最大面積是R²

點(diǎn)評(píng)：本題考查用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的最值，這是三角函數(shù)的一個(gè)重要的運(yùn)用，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)本題中函數(shù)關(guān)系的建立過(guò)程．